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Exercice 1: Le saut en parachute
La figure 1 montre un parachutiste qui saute à partir d’une hauteur h
0.
Figure 1 : Saut en parachute
Après le saut, le parachutiste chute en direction de la terre avec une vitesse
croissante.
La vitesse de chute croît jusqu’au moment où le poids (P = mg) et la traînée F
L
se
trouvent en équilibre. À la hauteur h
1
le parachutiste déclenche l’ouverture du
parachute ce qui entraine l’accroissement considérable de la traînée et la vitesse de
chute diminue comme souhaité.
Définitions et valeurs numériques :
h Hauteur du parachutiste par rapport au sol
h
0
= 3000 m Hauteur initiale du saut
h
1
= 1500 m Hauteur d’ouverture du parachute
As = 0,5 m
2
Surface couverte par le parachutiste dans l’air
A
FS
= 30 m
2
Surface couverte par le parachute dans l’air
m = 85 kg Masse du parachutiste
C
w
= 1,3 Coefficient de traînée (même valeur pour le parachutiste et le parachute)
ρ= 1,2 kg/m
3
Masse volumique de l'air (considérée comme constante)
g = 9,81m/s
2
Accélération de la pesanteur
F
L
Traînée
1.1 Équation du mouvement
Pour déterminer l’équation du mouvement, les masses et les forces en présence sont
représentées dans un système pseudo-isolé (voir la figure 1). Le poids P = mg est
orienté vers le bas, la traînée F
L
(résistance de l’air) est orientée est le haut et en
appliquant le principe d’Alembert, la force F = m
qu’il faut appliquer au parachutiste pour que le système reste en équilibre est
orientée vers le bas (donc contre le sens positif). La hauteur h est la coordonnée
utilisée ici pour décrire le mouvement.
À l’équilibre des forces d’après le principe de d’Alembert on a donc :
m
= F
L
– m*g (1)
avec la traînée F
L
= C
w
*A*
*v
2
(2)
qui est proportionnelle au carré de la vitesse v = ḣ
L’équation (1) est une équation différentielle qui peut être résolue en utilisant
plusieurs méthodes parmi lesquelles la méthode analytique et la méthode numérique
avec Simulink,
La méthode analytique va d’abord être utilisée pour la résolution de cette équation
différentielle, ainsi le constat en comparaison sera fait quant à la performance de la
méthode numérique avec Simulink qui permet également la simulation et la
visualisation du déplacement du parachutiste.
1.2 Méthode analytique
La vitesse constante de chute du parachutiste en cas de parachute fermé est d’abord
calculée.
On parle de vitesse constante lorsque l’accélération est nulle (
.
Si
alors de (1) on a :
m*g = C
w
*A*
*v
2
(3)
Si on isole v de (3) on obtient :
V = ḣ = -
= -
= - 46,2 m/s = - 166,5 km/h (4)
Le signe ‘‘-‘‘ devant la valeur de v en (4) est dû au fait que la hauteur h diminue
pendant la chute (
est négatif).
Avec
l’équation (1) peut aussi s’écrire de la manière suivante :
+ g – a*v
2
= 0 (5)
avec a =
=
=
=
(6)
De (5) on obtient :
g – a*v
2
= -
(7)
= -
(8)
= - 1 (9)
En séparant les variables (ici la vitesse v et le temps t) on obtient :
= - dt (10)
En intégrant les deux membres de l’égalité, on obtient :
=
(11)
L’intégrale
est du type
(12)
Avec A = - a = -
A < 0, B = 0, C = g.
On a alors 4AC - B
2
< 0, donc
= I =
(13)
On en déduit que
=
=
(14)
De (11) on a :
=
=
-
=
-
=
-
=
-
=
car
-=
= -
t = -
t =
t =
=
=
(15)
De (15) on peut déterminer v de la manière suivante :
Puisque 4AC - B
2
< 0 et que |x| = |(-1)x|, alors =
=
=
ln(
)
=
ln(
)
=
(ln
)
=
( 0
)
=
=
=
=
= (
)
=
=
(16)
L’équation (16) donne l’expression de la vitesse de chute du parachutiste en fonction
du temps, partant du moment du saut jusqu’à un instant t et ceci est vérifiable :
Au moment du saut (t = 0), on a :
= 0 m/s
À un instant t = , on a :
= -
= -
(17)
La même expression qu’en (4) est retrouvée.
Au terme de la résolution de l’équation (1) en utilisant la méthode analytique on peut
clairement constater que cette méthode est assez laborieuse. Place maintenant à la
méthode numérique avec Simulink.
1.3 Méthode numérique avec Simulink
1.3.1 Simulation du saut en parachute
Dans le but de pouvoir réaliser le modèle Simulink du saut en parachute,
dans
l’équation (1) doit être isolé :
m
= F
L
– m*g
=
=
=
=
(18)
Le côté droit de l’égalité (18) est développé à l’aide du bloc de fonction « Fcn » et est
ensuite connecté au premier bloc intégrateur « Integrator1 ». Ce bloc intégrateur est
initialisé avec
.
Figure 2 : Modèle Simulink du saut en parachute (saut_en_parachute.mdl)
Le bloc Integrator2 avec la sortie h est initialisé avec
. Le commutateur
Switch, avec pour entrée de commande h, change la surface de
à
lorsque le
parachutiste atteint la haute h = 1500 m. Avec le bloc de fonction Fcn1, la simulation
s’arrête lorsque le parachutiste atteint la hauteur h = 0 (lorsqu’il touche le sol).
La figure 3 montre la vitesse de chute du parachutiste.
Figure 3 : Visualisation de la vitesse de chute du parachutiste comme fonction du
temps
Le parachutiste atteint, avec le parachute fermé, la vitesse constante calculée en (4)
après environ 25 s. À t = 36 s, la hauteur h du parachutiste est de 1500 m (voir la
figure 4) et le Switch passe à la grande surface du parachutiste (le parachute est
ouvert) et dès lors la vitesse de chute diminue considérablement et atteint une
vitesse constante d’environ -6 m/s.
Figure 4 : Visualisation de la hauteur du parachutiste comme fonction du
temps
L’accélération du parachutiste (voir figure 5) à t = 36 s n’est pas réaliste
(extrêmement élevée). Ceci est dû au fait que l’ouverture du parachute a été réalisé
avec un simple commutateur (passage soudain de 0,5 m
2
à 30 m
2
dans Fcn). Ceci peut
être amélioré si on connecte la sortie du commutateur avec une fonction de transfert
bien initialisée d’un système d’ordre 1.
Figure 5 : Visualisation de l’accélération du parachutiste comme fonction du temps
